友達同士などカジュアルにCan you~?とWill you~?
Can you〜？とWill you〜？ は両方とも相手にお願いをするカジュアルな表現ですが、
少し意味合いが異なります。
Can you 〜？は「可能」がどうかです。
例
Can you say that again?
もう一度言ってもらえますか？
基本的にはYesが返ってくると思いますが、万が一、相手が何を言ったか忘れてしまって(笑)、覚えてない場合は不可能ですよね。
そんなときは
No,I can`t.I don`t remember.
いいえ、できません。覚えてません。
が返ってくるかもしれません笑
Will you 〜? は「意志」があるかどうかです。
後述するWould youと比べると、あまり使わない表現のようです。
例
Will you marry me?
結婚してくれませんか？
この例は思いっきり相手の意思を確認してますよね。
ただし、Willは未来に対する確認の意味あいもあるので注意が必要です。
例
Will you watch the movie tomorrow?
明日映画を見るの？
このようにお願いをする以外の意思の確認の場合もありますので、基本的には、友達同士ではCan you〜？を使いましょう。
丁寧な表現 Could you ~？とWould you~?
ビジネスや大人同士の会話にはこちらを使うことが一般的でしょう。
こちらも同じく
Could you 〜 可能かどうかを丁寧に聞く。
Would you 〜 するつもりがあるかどうかを丁寧に聞く。
となりますので、少し意味合いが異なりますが、下記のような場合はどちらでも大丈夫です。
Could you open the door?
Would you open the door?
窓を開けてもらえますか？
遠回しな表現 Would you mind 〜ing？
あなたに〜してもらっても差し支えありませんか？
YesとNoの回答に注意。
Would you mind opening the window?
窓を開けてくださいますか？
という意味なのですが、直訳は
窓を開けていただくことは嫌ですか？気にしますか？
となります。
日本語で一番近くて自然なのは
「してもらっても構いませんか？」
「してもらって差し支えありませんか？」だと思います。
なのでOKの場合、
No, I don`t mind.（いや気にしないよ。）
NGの場合
Yes, I mind.(うん。気にするなー)
となります。
通常のWould you 〜と逆の返答となるので注意が必要です。
窓を開けるなどの場合だと承諾が多いでしょうが、「喫煙」などのデリケートな問題の場合はYesが来るケースもあるでしょう。
相手に自分や誰かの行為の許可を取る時。 Would you mind my(one`s)〜 Would you mind if〜
Can IやMay Iなどと同じように使える言い回し。
ただしYesとNoの回答はやはり逆になるので注意。
Would you mind my opening the window?
私が窓を開けても構いませんか？？
No.not at all.(気にしないよ)
No problem.(問題ないよ)
Yes.I would.(気にします)
Sure（もちろん平気さ）
Alright.(大丈夫だよ)
Would you mind If I visit your house with my sister?
姉と一緒にあなたの家に行っても差し支えありませんか？
返答は先ほどと同様に。
No.not at all.(気にしないよ)
No problem.(問題ないよ)
Yes.I would.(気にします)
Sure（もちろん平気さ）
Alright.(大丈夫だよ)
となります。
一緒に覚えておきましょう。